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コーシーの積分公式
コーシーの積分公式とは次式で表されるものです
\begin{eqnarray}
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \nonumber
\end{eqnarray}
これはガウス平面（横軸が実数で縦軸が虚数）の領域C内で正則な関数f(z)はすべからく、 領域外周C上の積分で表現される、というものです
これは大変有用な原初的な公式です
たとえば、すべての解析関数が展開されるところのテイラー級数の係数もこれで表現できるし、オイラーの公式はこのテイラー展開から証明できます
Taylor展開
閉曲線C内で正則なすべての解析関数$f(z)$は次のコーシー積分にて表されます
\begin{eqnarray}
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \nonumber
\end{eqnarray}
C上の$\zeta$に対し
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}=\frac{1}{(\zeta-a)(1-\frac{z-a}{\zeta-a})} \nonumber
\end{eqnarray}
となり、かつ$\frac{|z-a|}{|\zeta-a|} < 1$であるから、この式を初項$\frac{1}{\zeta-1}$、公比$\frac{z-a}{\zeta-a}$の収束等比級数の和と考えることが出来る。
このようにして、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta-a}+\frac{z-a}{(\zeta-a)^2}+\cdots=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}} \nonumber
\end{eqnarray}
上の等式に$f(\zeta)$を乗じて、$C$に沿って項別に積分し、かつ$2\pi i$で割って次の等式を得る
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}d\zeta=\sum_{n=0}^{+\infty}(z-a)^n\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-a)^{n+1}}\nonumber
\end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray}
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n(z-a)^n\;\;\;,\;\;\;A_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta) d\zeta}{(\zeta-a)^{n+1}}\nonumber
\end{eqnarray}
一方、解析関数の高階微分係数は
\begin{eqnarray}
f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta\nonumber
\end{eqnarray}
で表せるから、結局テイラー級数の係数$A_n$は
\begin{eqnarray}
A_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\;\;\;(n=0,1,2,\cdots)\nonumber
\end{eqnarray}
下記、テイラー展開を使えば
\begin{eqnarray}
e^{z}&=&1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!} \nonumber \\
cos\;z&=&1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!} \nonumber \\
\;\;\\
sin\;z&=&z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \nonumber
\end{eqnarray}
【Euler's formula】
\begin{eqnarray}
e^{iz}&=&1+iz+\frac{i^2z^2}{2!}+\frac{i^3z^3}{3!}+\frac{i^4z^4}{4!}+\frac{i^5z^5}{5!}+\cdots \nonumber \\
&=&1+iz-\frac{z^2}{2!}-i\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i\frac{z^5}{5!}+\cdots \nonumber \\
&=&(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots)+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots) \nonumber \\
&=&cos z+i sin z \nonumber
\end{eqnarray}
オイラーは1707年スイス・バーゼル生まれの大数学者ですが、良く考えてみるとこれはハリソンと同世代です
機械式時計の理論を調べていくうち、中世のヨーロッパ、特にフランスやスイスで現代科学の基礎とも言える数学理論を
構築していたところに大変な感銘を受けましたのでご紹介した次第です
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