1-1の振り子の運動方程式は次のように表されるのだった。1-1では$\;\theta\;$が小さいとき$\;\sin\theta\approx\theta\;$と近似して
解析したが、ここでは$\;sin\theta\;$のまま解析をして振り子の厳密解を求めてみよう。
\begin{eqnarray}
ml\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgsin\theta
\end{eqnarray}
両辺を$\;ml\;$で除し$\frac{d\theta}{dt}$を掛けて右辺を左辺に移項すると
\begin{eqnarray}
\frac{d^2\theta}{dt^2}\frac{d\theta}{dt}+\frac{g}{l}\frac{d\theta}{dt}sin\theta=0
\end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\{\frac{1}{2}(\frac{d\theta}{dt})^2-\omega_n^2cos\theta\}=0
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}(\frac{d\theta}{dt})^2-\omega_n^2cos\theta=E
\end{eqnarray}
これは物理的にはエネルギー保存則を表す。全エネルギーは$\;\{ml^2E+mgl\}\;$で表される。
ここで
$\;\theta=A_0\;$のとき$\;\frac{d\theta}{dt}=0\;$だから
\begin{eqnarray}
E=-\omega_n^2cosA_0
\end{eqnarray}
これより式(4)は次のように書き換えられる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}(\frac{d\theta}{dt})^2-\omega_n^2(cos\theta-cosA_0)=0
\end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray}
\frac{d\theta}{dt}=\pm\sqrt{\frac{2g(cos\theta-cosA_0)}{l}}
\end{eqnarray}
これを$\;\theta\;$と$\;t\;$に関する積分に分けると$\;\theta\;$が0から$\;A_0\;$まで振れるのに要する時間は$\;\frac{T}{4}\;$だから
\begin{eqnarray}
\int_0^{A_0} \frac{1}{\sqrt{cos\theta-cosA_0}} d\theta=\int_0^{\frac{T}{4}} \sqrt{\frac{2g}{l}} dt=\sqrt{\frac{2g}{l}}\frac{T}{4}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
sin\frac{\theta}{2}=sin\frac{A_0}{2}sin\phi
\end{eqnarray}
とおくと式(8)の左辺の分母の中は次のようになる。
\begin{eqnarray}
cos\theta-cosA_0=(1-2sin^2\frac{\theta}{2})-(1-2sin^2\frac{A_0}{2})
&=&2sin^2\frac{A_0}{2}cos^2\phi
\end{eqnarray}
また式(9)の両辺を微分すれば
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}cos\frac{\theta}{2} d\theta=sin\frac{A_0}{2}cos\phi\;d\phi
\end{eqnarray}
これより
\begin{eqnarray}
d\theta&=&\frac{2sin\frac{A_0}{2}cos\phi}{cos\frac{\theta}{2}}d\phi \nonumber \\
&=&\frac{2sin\frac{A_0}{2}cos\phi}{\sqrt{1-sin^2\frac{A_0}{2}sin^2\phi}}\;d\phi
\end{eqnarray}
式(9)から$\;\theta=0\;$で$\;\phi=0\;,\;\theta=A_0\;$で$\;\phi=\frac{\pi}{2}\;$であることに注意して式(10)と式(12)を式(8)に代入すれば、
\begin{eqnarray}
T&=&4\sqrt\frac{l}{2g}\int_0^{A_0}\frac{1}{\sqrt{cos\theta-cosA_0}}d\theta \nonumber \\
&=&4\sqrt\frac{l}{2g}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{2sin^2\frac{A_0}{2}cos^2\phi}}\frac{2sin\frac{A_0}{2}cos\phi}{\sqrt{1-sin^2\frac{A_0}{2}sin^2\phi}}d\phi \nonumber \\
&=&4\sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-sin^2\frac{A_0}{2}sin^2\phi}}d\phi
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-m sin^2\theta}}d\theta
\end{eqnarray}
は第一標準型の楕円積分と呼ばれ、積分の中は次のようにテイラー展開出来る。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{1-msin^2\theta}}&=&1+\frac{1}{2}msin^2\theta+\frac{3}{8}m^2sin^4\theta+\frac{15}{48}m^3sin^6\theta+... \nonumber \\
&=&\sum_{i=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}m^nsin^{2n}\theta
\end{eqnarray}
この級数は$\;m<1\;$の範囲で一様収束するので、次のように項別積分出来る。尚、$\;!!\;$の記号は一つおきに階乗を取るという意味である。
\begin{eqnarray}
K(m)&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{i=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}m^nsin^{2n}\theta d\theta \nonumber \\
&=&\sum_{i=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}m^n \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}\theta d\theta \nonumber \\
&=&\frac{\pi}{2}\{\sum_{i=0}^\infty [\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2m^n\}
\end{eqnarray}
$\;K(m)\;$を使えば式(13)は次のようになる。
\begin{eqnarray}
T&=&4\sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-sin^2\frac{A_0}{2}sin^2\phi}}d\phi \nonumber \\
&=&4\sqrt{\frac{l}{g}}K(sin^2\frac{A_0}{2}) \nonumber \\
&=&2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\{\sum_{i=0}^\infty [\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2sin^{2n}\frac{A_0}{2}\} \nonumber \\
&=&2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\{1+\frac{1}{4}sin^2\frac{A_0}{2}+\frac{9}{64}sin^4\frac{A_0}{2}+\frac{225}{2304}sin^6\frac{A_0}{2}+\frac{10125}{147456}sin^8\frac{A_0}{2}...\} \nonumber \\
\end{eqnarray}
このように振り子の周期$\;T\;$は厳密には振り角$\;A_0\;$の関数となり、$\;A_0=0\;$とおくと1-1の結果と一致する。
これが振り子の厳密解である。