この運動方程式を立てるという行為が最も重要なので覚えておくと便利である。
それではまず振り子の速度を求めてみよう。
今振り子が右方向に動いているとして 速度＝距離÷時間 だから上図の微小円弧の長さ\;ld\theta\;が距離で
これを微小時間\;dt\;で割れば（微分すれば）振り子の速度\;v\;となる。
\begin{eqnarray}
v=\frac{ld\theta}{dt}
\end{eqnarray}
更に速度\;v\;を時間で微分すると加速度\;\alpha\;が求められる。
\begin{eqnarray}
α=\frac{dv}{dt}=l\frac{d^2\theta}{dt^2}
\end{eqnarray}
そうすると(1)式より次式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
ml\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgsin \theta
\end{eqnarray}
これが自由振動させたときの振り子の運動方程式である。
運動方程式の解き方にはいろいろあるが、本HPでは振動解析に向いていて比較的簡単に解けるラプラス変換を用いることにする。
ラプラス変換とは\;t\;による時間領域を\;s\;による複素平面に変換するもので、複素数\;s\;の式を変形した後、再度逆ラプラス変換して
\;t\;の時間領域に戻すと微分方程式の解が得られるという実に単純な解き方である。
ラプラス変換の証明に関しては多くの数学書に記載があるのでここでは省略するが第5部 数学公式集のラプラス変換表5-3-2の公式を
覚えてしまえば何も考えずに機械的に運動方程式を解くことが出来る。
では早速ラプラス変換を使って(4)式を解いてみよう。
(4)式の両辺を\;ml\;で除すと
\begin{eqnarray}
\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l} sin \theta
\end{eqnarray}
ここで\;\theta\;が小さいときは
\begin{eqnarray}
sin \theta\approx\theta
\end{eqnarray}
が成り立つ。すなわち
\begin{eqnarray}
\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l} \theta
\end{eqnarray}
となる。
\theta_{t=0}=A_0,\;\;\;\;(\frac{d \theta}{d t})_{t=0}=0
とおいて両辺をラプラス変換すると（第5部 5-3-2 数学公式集 ラプラス変換表5-3-2参照)
\begin{eqnarray}
&\;&s^2\Theta(s)-s\theta_{t=0}-\left(\frac{d \theta}{dt}\right)_{t=0}=-\frac{g}{l}\Theta(s) \nonumber \\
&\;&s^2\Theta(s)-sA_0=-\frac{g}{l}\Theta(s) \nonumber \\
&\;&(s^2+\frac{g}{l})\Theta(s)=sA_0 \nonumber \\
&\;&\Theta(s)=\frac{sA_0}{(s^2+\frac{g}{l})}
\end{eqnarray}
ラプラス逆変換すると（第5部 数学公式集 ラプラス変換表5-3-2参照)
\begin{eqnarray}
\theta=A_0cos\sqrt{\frac{g}{l}} t
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\omega_n=\pi\;f=\sqrt{\frac{g}{l}}
\end{eqnarray}
を固有振動数と言う。固有振動数とは単位時間当たりの振動の繰り返し回数に１周期の角度2\pi\;[rad]を掛けたものであるが
時計の場合は１往復を２回と数えるので\;\pi f\;となる。またこれは角速度\;\omega\;と混同しないよう注意が必要である。
そうすると式(9)は次のようにあらわすことが出来る。
\begin{eqnarray}
\theta=A_0cos\omega_n t
\end{eqnarray}
周期Tは
\begin{eqnarray}
T=\frac{2\pi}{\omega_n}={2\pi}\sqrt{\frac{l}{g}}
\end{eqnarray}
式(11)が振り子を自由振動させたときの解であり周期\;T\;は振り角\;A_0\;に依らず一定となる。
これをグラフで表すと下の図のようになる。
ただし、例としてl=1[m] , g=9.8 [m/s^2] ,A_0=0.1 [rad]とおいた。
これは上の図で振り子を正の右端に置きそこから手を離した瞬間を時刻０としたとき、その後の時刻における振り子の運動の様子を表している。
この場合の固有振動数\;\omega_n\;および周期\;T\;は次のようになる。
\begin{eqnarray}
\omega_n&=&\sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{\frac{9.8}{1}}=3.1305\;[rad/s] \nonumber \\
T&=&\frac{2\pi}{\omega_n}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=2\times \pi \times \sqrt{\frac{1}{9.8}}=2.0071\;[sec] \nonumber
\end{eqnarray}
