図のように空気抵抗などの粘性減衰トルク$\;M_d\;$が働く場合のテンプの運動方程式を考える。
振り子の場合と同じように粘性減衰係数を$\;c\;$とおけば粘性減衰トルク$\;M_d\;$は次のようになる。
\begin{eqnarray}
M_d=c\frac{d\theta}{dt}
\end{eqnarray}
これよりテンプの運動方程式は次のようになる。
\begin{eqnarray}
I\frac{d^2 \theta}{dt^2}&=&-k\theta-M_d \nonumber \\
&=&-k\theta-c\frac{d\theta}{dt}
\end{eqnarray}
両辺を$\;I\;$で除し、右辺を左辺に移項すれば
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{c}{I}\frac{d\theta}{dt}+\frac{k}{I}\theta=0
\end{eqnarray}
となる。
ここで$\;\zeta\;$：粘性減衰比率、$\;\omega_n\;$：固有振動数、$\;\omega_d\;$：減衰系固有振動数を次のように定義する。
\begin{eqnarray}
&\zeta&=\frac{c}{2\sqrt{Ik}} \\
&\omega_n&=\sqrt{\frac{k}{I}} \\
&\omega_d&=\sqrt{1-\zeta^2}\;\omega_n
\end{eqnarray}
そうすると式(3)は振り子のときと全く同じように
\begin{eqnarray}
\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\zeta\omega_n\frac{d\theta}{dt}
+\omega_n^2\theta=0
\end{eqnarray}
となる。
式(7)を初期条件 \[\theta_{t=0}=A_0 ,\;\;\;\;(\frac{d\theta}{dt})_{t=0}=0\]のもとにラプラス変換すると
\begin{eqnarray}
s^2\Theta(s)-s\theta_{t=0}-(\frac{d\theta}{dt})_{t=0}+2\zeta\omega_n(s\Theta(s)-\theta_{t=0})+\omega_n^2\Theta(s)=0\;\;\;\;\;
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
s^2\Theta(s)+2\zeta\omega_ns\Theta(s)+\omega_n^2\Theta(s)=A_0(s+2\zeta\omega_n)
\end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray}
(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)\Theta(s)=A_0((s+2\zeta\omega_n)
\end{eqnarray}
変形して
\begin{eqnarray}
\Theta(s)&=&A_0\frac{(s+2\zeta\omega_n)}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2s} \nonumber \\
&=&A_0\left(\frac{s+\zeta\omega_n}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2s}+\frac{\zeta\omega_n}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2s}\right) \nonumber \\
&=&A_0\left\{\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2)}+\frac{\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2)}\right\} \nonumber \\
&=&A_0\left\{\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2)}+\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2)}\right\}
\end{eqnarray}
ラプラス逆変換し、三角関数の合成公式(第5部 数学公式集 5-1-9 三角関数の合成公式参照)を使えば
\begin{eqnarray}
\theta&=&A_0e^{-\zeta\omega_n t}\{cos\omega_d t+\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}sin\omega_d t\} \nonumber \\
&=&A_0e^{-\zeta\omega_n t}\{cos\omega_d t+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin\omega_d t\} \nonumber \\
&=&A_0\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} cos(\omega_d t-\phi)
\end{eqnarray}
ただし
\begin{eqnarray}
\phi=tan^{-1}(\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}})
\end{eqnarray}
これが粘性減衰があるときのテンプの自由振動の解である。すなわち粘性減衰があるときのテンプの振り角は
振り子の振り角と全く同じ式で表される。