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第5部 数学公式集5-3-3 合成積のラプラス変換 関数$f(x)$と$g(x)$が与えられたとき合成積$f*g$を \begin{eqnarray} f*g(t)=\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)d\tau \nonumber \end{eqnarray}と定義すると、それぞれの関数のラプラス変換を \begin{eqnarray} \mathcal{L}[f(t)]=F(s)\;\;\;\;\;\mathcal{L}[g(t)]=G(s) \nonumber \end{eqnarray}とすれば \begin{eqnarray} \mathcal{L}[f*g(t)]=F(s)G(s) \nonumber \end{eqnarray}が成り立つ。 【合成積のラプラス逆変換の例 1】 sintとcostの合成積は三角関数の積和公式を使えば \begin{eqnarray} (sint)*(cost)&=&\int_0^tsin(t-\tau)cos\tau d\tau \nonumber \\ &=&\frac{1}{2}\int_0^t(sint+sin(t-2\tau))d\tau \nonumber \\ &=&[\frac{\tau sint}{2}]_0^t+[\frac{cos(t-2\tau)}{4}]_0^t \nonumber \\ &=&\frac{tsint}{2} \nonumber \end{eqnarray} $\;sint\;$と$\;cost\;$のラプラス変換はそれぞれ \begin{eqnarray} \mathcal{L}[sint]=\frac{1}{s^2+1}\;\;\;\;\;\mathcal{L}[cost]=\frac{s}{s^2+1} \nonumber \end{eqnarray}であるから \begin{eqnarray} \mathcal{L}[sint*cost]=\mathcal{L}[\frac{tsint}{2}]=\frac{s}{(s^2+1)^2} \nonumber \end{eqnarray}となる。 【合成積のラプラス逆変換の例 2】 \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+1)}\} \nonumber \end{eqnarray}を求める。 \begin{eqnarray} \frac{1}{s(s^2+1)}=\frac{1}{s}\frac{1}{s^2+1}=F(s)G(s) \nonumber \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}\}=1\nonumber \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}[G(s)]=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s^2+1}\}=sint \nonumber \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+1)}\}&=&1*sint \nonumber \\ &=&\int_0^tsin\tau d\tau \nonumber \\ &=&1-cost \nonumber \end{eqnarray}【合成積のラプラス逆変換の例 3】 \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\{\frac{F(s)\omega_d}{(s+\zeta \omega_n)^2+\omega_d^2}\} \nonumber \end{eqnarray}を求める。 \begin{eqnarray} \frac{F(s)\omega_d}{(s+\zeta \omega_n)^2+\omega_d^2}&=&F(s)\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \nonumber \\ &=&F(s)G(s) \nonumber \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}[F(s)]&=&f(t) \nonumber \\ \mathcal{L}^{-1}[G(s)]&=&\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\omega_d}{(s+\zeta \omega_n)^2+\omega_d^2}\} \nonumber \\ &=&e^{-\zeta \omega_n\;t}\;sin \omega_d\;t \nonumber \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}&=&f(t)*g(t) \nonumber \\ &=&\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\;d\tau \nonumber \\ &=&\int_0^tf(\tau)e^{-\zeta \omega(t-\tau)}\;\;\;sin\omega_d\;(t-\tau)\;d\tau \nonumber \\ &=&e^{-\zeta \omega_n\;t}\;\{\int_0^tf(\tau)e^{\zeta \omega_n\; \tau}\;sin\omega_d\;t \;cos\omega_d\;\tau d\tau \nonumber \\ &\;&-\int_0^tf(\tau)e^{\zeta \omega_n \;\tau}cos\omega_d\;t \;sin\omega_d\;\tau d\tau\} \nonumber \\ &=&e^{-\zeta \omega_n\;t}\;\{sin\omega_d\;t\int_0^tf(\tau)e^{\zeta \omega_n\;\tau}cos\omega_d\;\tau d\tau \nonumber \\ &\;&-cos\omega_d\;t\int_0^tf(\tau)e^{\zeta \omega_n\;\tau}sin\omega_d\;\tau d\tau\} \nonumber \end{eqnarray}ここで積分変数$\;\tau\;$を$\;t\;$に置き換えれば次のようになる。 \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}&=&f(t)*g(t) \nonumber \\ &=&e^{-\zeta \omega_n\;t}\;\{sin\omega_d\;t\int_0^tf(t)e^{\zeta \omega_n\;t}cos\omega_d\;t dt \nonumber \\ &\;&-cos\omega_d\;t\int_0^tf(t)e^{\zeta \omega_n\;t}sin\omega_d\;t dt\} \nonumber \end{eqnarray} |