テイラー展開とは関数を級数の形に展開するもので非常に便利なものである。
良く使われるものはマクローリン展開とも呼ばれ次式で表される。
\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3}f'''(0)x^3+\cdots+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+\cdots \nonumber \\
&=&\sum_{n=0}^\infty \frac{f^n(0)}{n!}x^n \nonumber
\end{eqnarray}
主な関数のテイラー展開（マクローリン展開）を以下に示す。
\begin{eqnarray}
e^x&=&1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \nonumber \\
e^{-x}&=&1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{n!}+\cdots \nonumber \\
sin\;x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots \nonumber \\
cos\;x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots \nonumber \\
(1-x)^a&=&1-ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2-\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\cdots \nonumber \\
&\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+(-1)^n\frac{a(a-1)(a-2)\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots \nonumber \\
(1+x)^a&=&1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\cdots \nonumber \\
&\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots \nonumber \\
(1-x^2)^a&=&1-ax^2+\frac{a(a-1)}{2}x^4-\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^6+\cdots \nonumber \\
&\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+(-1)^n\frac{a(a-1)(a-2)\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^{2n}+\cdots \nonumber \\
(1+x^2)^a&=&1+ax^2+\frac{a(a-1)}{2}x^4+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^6+\cdots \nonumber \\
&\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^{2n}+\cdots \nonumber \\
\sqrt{(1-x)}&=&1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{3}{48}x^3-\frac{15}{384}x^4-\cdots-(\frac{1}{2})^n\frac{(2n-3)!!}{n!}x^n+\cdots \nonumber \\
\sqrt{(1+x)}&=&1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{48}x^3-\frac{15}{384}x^4+\cdots+(-1)^{n-1}(\frac{1}{2})^n\frac{(2n-3)!!}{n!}x^n+\cdots \nonumber \\
\sqrt{1-x^2}&=&1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{3}{48}x^6-\frac{15}{384}x^8-\cdots-(\frac{1}{2})^n\frac{(2n-3)!!}{n!}x^{2n}-\cdots \nonumber \\
\sqrt{1+x^2}&=&1+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{48}x^6-\frac{15}{384}x^8+\cdots+(-1)^{n-1}(\frac{1}{2})^n\frac{(2n-3)!!}{n!}x^{2n}+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots+x^n+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{1+x}&=&1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{1-x^2}&=&1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10}+\cdots+x^{2n}\dots \nonumber \\
\frac{1}{1+x^2}&=&1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+\cdots+(-1)^nx^{2n}+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{\sqrt{1-x}}&=&1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{15}{48}x^3+\cdots+(\frac{1}{2})^n(2n-1)!!\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{\sqrt{1+x}}&=&1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{15}{48}x^3+\cdots+(-\frac{1}{2})^n(2n-1)!!\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&=&1+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{15}{48}x^6+\cdots+(\frac{1}{2})^n(2n-1)!!\frac{x^{2n}}{n!}+\cdots \nonumber \\
\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}&=&1-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4-\frac{15}{48}x^6+\cdots+(-\frac{1}{2})^n(2n-1)!!\frac{x^{2n}}{n!}+\cdots \nonumber \\
tan^{-1}x&=&x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^n(\frac{1}{2n+1)}x^{2n+1}+\cdots \nonumber
\end{eqnarray}
円周率$\pi$は$tan^{-1}x$で$x=1$とおけば$tan^{-1}\{1\}=\pi/4$であるから
\begin{eqnarray}
\pi&=&4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\cdots+(-1)^n\frac{4}{(2n+1)}+\cdots \nonumber
\end{eqnarray}
となる。これをライプニッツの公式という。
ちなみに高野喜久雄氏はライプニッツの公式の収束性を高め金田康正氏が
2002年に円周率を少数第1兆2411億位まで計算したときの公式（高野喜久雄の公式）は
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4}=12tan^{-1}\frac{1}{49}+32tan^{-1}\frac{1}{57}-5tan^{-1}\frac{1}{239}+12tan^{-1}\frac{1}{110443} \nonumber
\end{eqnarray}
である。