次式で表される関数を$\nu$階の第1種ベッセル関数という。
\begin{eqnarray}
J_{\nu}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\frac{(\frac{x}{2})^{\nu+2k}}{k!\;\Gamma(\nu+k+1)}
\end{eqnarray}
ここで$\Gamma(s)$はガンマ関数と呼ばれ次式で表される。
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx\;\;\;(s>0)
\end{eqnarray}
部分積分により
\begin{eqnarray}
\Gamma(s+1)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^sdx=[-e^{-x}x^s]_0^{+\infty}+s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx=s\Gamma(s) \nonumber
\end{eqnarray}
となる。これから
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)=(s-1)(s-2)\Gamma(s-2)=\cdots \nonumber
\end{eqnarray}
である。一般に
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)=(s-1)(s-2)\cdots(s-k)\Gamma(s-k)\;\;\;(k < s)
\end{eqnarray}
と表される。このとき自然数$\;n\;$に対しては
\begin{eqnarray}
\Gamma(n+1)=n(n-1)\cdots2\cdot1\Gamma(1)\;\;\;\;\;;\;\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^{+\infty}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
したがって
\begin{eqnarray}
\Gamma(n+1)=1\cdot2\cdot3\cdots\cdots n=n!
\end{eqnarray}
となる。
式(1)において階数$\;\nu\;$が非負の整数$\;n\;$の場合には、式(4)を考えに入れると次式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
J_n(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{(\frac{x}{2})^{n+2k}}{k!(n+k)!}
\end{eqnarray}
$\nu=-n$(負の整数)のときは式(1)で定義される関数は次の形をとる。（$1/\Gamma(s)$が$s=0,-1,-2,\cdots$に対して$0$に等しいことを考えに入れる）
\begin{eqnarray}
J_{-n}(x)=\sum_{k=n}^{+\infty}(-1)^k\frac{(\frac{x}{2})^{-n+2k}}{k!\Gamma(-n+k+1)}=\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k\frac{(\frac{x}{2})^{-n+2k}}{k!(-n+k)!}
\end{eqnarray}
ここで$\;k\;$を$l+n$で置き換えれば
\begin{eqnarray}
J_{-n}(x)=(-1)^n\sum_{l=0}^{+\infty} (-1)^l\frac{(\frac{x}{2})^{n+2l}}{(l+n)!l!}=(-1)^nJ_n(x)
\end{eqnarray}
となる。
次にテイラー展開により
\begin{eqnarray}
e^{-x/(2z)}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-\frac{x}{2z})^k}{k!}\;\;\;\;\;\;\;\;\;e^{xz/2}=\sum_{l=0}^\infty \frac{(\frac{xz}{2})^l}{l!}
\end{eqnarray}
が成立する。これらの等式を辺々乗じて（右辺の級数を相乗じて$\;z\;$の同一の幅を含む項をまとめる）、
\begin{eqnarray}
e^{(z-\frac{1}{z})x/2}&=&\sum_{k,l} \frac{(-1)^k(\frac{x}{2})^{k+1}z^{l-k}}{k!\;l!} \nonumber \\
&=&\sum_{n=-\infty}^{+\infty}z^n \sum_{k \ge 0 , l \ge 0 , l-k=n}\frac{(-1)^k(\frac{x}{2})^{k+l}}{k!\;l!}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}z^n\sum_k \frac{(-1)^k(\frac{x}{2})^{n+2k}}{k!(n+k)!} \nonumber
\end{eqnarray}
を得る（終わりから2番目の式の内部の和において、$\;k\;$と$\;l\;$とは$l-k=n$なる関係で結びつけられているから、
一方の指標$\;k\;$について和を求めて、$l=n+k\;$とおくことができる）。
最後の式の内部の和において、和を求める計算は$k \ge 0,n+k \ge 0\;$となるようなすべての整数$\;k\;$について行われる。
したがって$\;n \ge 0\;$のときは、これは$\sum_{k=0}^{+\infty}\;$,$\;n=-m<0\;$のときはこれは$\sum_{k=m}^{+\infty}$となる。
このようにして、すべての場合を通じて内部の和は式(5)(6)により$J_n(x)$である。これより次式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
e^{(z-\frac{1}{z})x/2}=\sum_{-\infty}^{+\infty} J_n(x)z^n
\end{eqnarray}
ここで$z=e^{i\phi}$とおくと
\begin{eqnarray}
e^{ixsin\phi}=\sum_{-\infty}^{+\infty} J_n(x)e^{in\phi}
\end{eqnarray}
となる。
これより$\;x=A\;$,$\;\phi=\omega t\;$と置き換えて$\;\alpha=Asin\omega t\;$とおけば
\begin{eqnarray}
e^{i\alpha}=cos(Asin\omega t)+isin(Asin\omega t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(A)e^{in\omega t}
\end{eqnarray}
が成り立つ。これを実数部と虚数部に分ければ$J_{-n}(A)=(-1)^nJ_n(A)$となることを考えに入れて
\begin{eqnarray}
cos(Asin\omega t)&=&\sum_{-\infty}^{+\infty}J_n(A)cos\;n\omega t \nonumber \\
&=&J_0(A)+\sum_{n=1}^{+\infty}[J_n(A)+J_{-n}(A)]cos\;n\omega t \nonumber \\
&=&J_0(A)+2\sum_{m=1}^{+\infty} J_{2m}(A)cos\;2m\omega t \\
sin(Asin\omega t)&=&\sum_{-\infty}^{+\infty}J_n(A)sin\;n\omega t \nonumber \\
&=&\sum_{n=1}^{+\infty}[J_n(A)-J_{-n}(A)]sin\;n\omega t \nonumber \\
&=&2\sum_{m=0}^{+\infty} J_{2m+1}(A)sin\;(2m+1)\omega t
\end{eqnarray}
となる。これより
\begin{eqnarray}
cos\alpha&=&cos(Asin\omega t)=J_0(A)+2J_2(A)cos2\omega t+2J_4(A)cos4\omega t+\cdots \nonumber \\
sin\alpha&=&sin(Asin\omega t)=2J_1(A)sin \omega t+2J_3(A)sin3\omega t +2J_5(A)sin5\omega t+\cdots \nonumber
\end{eqnarray}
これと三角関数の積和公式(5-1-7)を使えば
\begin{eqnarray}
\int_0^T&\alpha&\;cos \alpha dt=\int_0^T Asin\omega t\;cos(Asin\omega t) dt \nonumber \\
&=&A\int_0^Tsin\omega t \{J_0(A)+2J_2(A)cos2\omega t+2J_4(A)cos4\omega t+\cdots\}dt \nonumber \\
&=&A\{J_0(A)\int_0^Tsin\omega t dt+2J_2(A)\int_0^Tsin\omega t cos2\omega t dt \nonumber \\
&\;&+2J_4(A)\int_0^Tsin\omega t cos4\omega_t dt+\cdots\} \nonumber \\
&=&A[J_0(A)\int_0^Tsin\omega t dt +J_2(A)\int_0^T\{sin3\omega t-sin\omega t\}dt \nonumber \\
&\;&+J_4(A)\int_0^T\{sin5\omega t-sin3\omega t\}dt+\cdots] \nonumber \\
&=&A\{\frac{J_0(A)}{\omega}[-cos\omega t]_0^T+J_2(A)(\frac{1}{3\omega}[-cos3\omega t]_0^T-\frac{1}{\omega}[-cos\omega t]_0^T) \nonumber \\
&\;&+J_4(A)(\frac{1}{5\omega}[-cos5\omega t]_0^T-\frac{1}{3\omega_t}[-cos3\omega t]_0^T)+\cdots\} \nonumber \\
&=&0 \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\int_0^T&\alpha& sin\alpha dt=\int_0^T Asin\omega t\;sin(Asin\omega t)dt \nonumber \\
&=&A\int_0^Tsin\omega t \{2J_1(A)sin\omega t+2J_3(A)sin3\omega t+2J_5(A)sin5\omega t+\cdots\}dt \nonumber \\
&=&2A\{\int_0^TJ_1(A)sin^2\omega tdt+J_3(A)\int_0^Tsin\omega t\;sin3\omega tdt \nonumber \\
&\;&+J_5(A)\int_0^Tsin\omega t\;sin5\omega tdt+\cdots\} \nonumber \\
&=&A\{J_1(A)\int_0^T(1-cos2\omega t)dt +J_3(A)(\int_0^Tcos2\omega tdt-\int_0^Tcos4\omega tdt) \nonumber \\
&\;&+J_5(A)(\int_0^Tcos4\omega tdt-\int_0^Tcos6\omega tdt)+\cdots\} \nonumber \\
&=&A\{J_1(A)([t]_0^T-\frac{1}{2\omega}[sin2\omega t]_0^T)+J_3(A)(\frac{1}{2\omega}[sin2\omega t]_0^T-\frac{1}{4\omega}[sin4\omega t]_0^T) \nonumber \\
&\;&+J_5(A)(\frac{1}{4\omega}[sin4\omega t]_0^T-\frac{1}{6\omega}[sin6\omega t]_0^T)+\cdots\} \nonumber \\
&=&ATJ_1(A) \nonumber
\end{eqnarray}