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         機械式時計の理論

機械式時計の理論


3-3 ヒゲゼンマイ一般理論

3-3-3 ヒゲの弾性エネルギー

物体に外力が作用すると、その物体を構成する要素は外力の種類、大きさ、方向などによって

決まるある方向に移動する。すなわち物体は変形する。

したがって物体に外力が作用すると仕事がなされ、その仕事は弾性的に位置のエネルギーとして貯えられる。


このように貯えられた位置のエネルギーは外力が取り去られると外部に吐き出される。

このように物体に貯えられる位置のエネルギーを弾性エネルギーと呼ぶ。


長さLの物体を力Pで引っ張ったとき物体の断面には応力σが発生しひずみεが生ずる。

このときの応力σとひずみεの関係はフックの法則から


σ=Eε

で表される。

物体の断面積をAとするとP=Aσであるから、物体の伸びλ


λ=εL=σLE=LAEPP=AELλ

となる。

したがって弾性エネルギーUはバネの保有エネルギーE=1/2kx2

バネ定数kAE/Lに置き換えたものに等しいから


U=AE2Lλ2

となる。式(2)を式(4)に代入すると


U=σ22EAL

と表すことが出来る。


次に図に示すように曲げモーメントMを受けるヒゲゼンマイの内部には曲げ応力σを生じ、

これによる弾性エネルギーUは微小体積dV=dAdxに貯えられる引張または圧縮応力による

弾性エネルギーをヒゲゼンマイの全断面および全長にわたって積分したものになる。

すなわち


U=dU=σ22EdV=σ22EdAdx

3-3-1より曲げ応力σσ=Eε=Eηρ

曲率半径ρはヒゲゼンマイの断面2次モーメントをIHとすれば


1ρ=MEIH

であるから式(8)を式(7)に代入すれば


σ=MIHη

である。式(9)を式(6)に代入すると


U=M22EI2HdsAη2dA=L0M22EIHds

となる。一方、ヒゲを角度\;\phi\;だけ変形させたときのモーメント\;M\;3-3-1から


\begin{eqnarray} M=EI_H\frac{d\phi}{ds} \end{eqnarray}

である。式(11)を式(10)に代入し、3-3-1から\;k=EI_H/L\;の関係を用いると

ヒゲの貯える弾性エネルギー\;U\;


\begin{eqnarray} U=\frac{kL}{2}\int_0^L(\frac{d\phi}{ds})^2ds \end{eqnarray}

となる。