ヒゲの形がアルキメデス曲線ときの等時性誤差を求めるには、先ず3-3-4で求めた
\begin{eqnarray}
\Delta&=&z_1(L)-z(L) \nonumber \\
&=&i\frac{\alpha}{L}e^{i\alpha}\int_0^Lz(s)exp\{-i\alpha s/L\}ds
\end{eqnarray}
の$\;\Delta\;$を計算する。
この式の$\;z\;$としては
\begin{eqnarray}
z&=&re^{i\theta} \\
r&=&a\theta
\end{eqnarray}
を用い、$\;s\;$として3-4-1で求めた
\begin{eqnarray}
s=\frac{a}{2}(\theta^2-\theta_0^2)
\end{eqnarray}
を用いると式(1)は
\begin{eqnarray}
\Delta=i\frac{\alpha}{L}e^{i\alpha}\int_{\theta_0}^{\theta_1}a^2\theta^2\;exp\{i\theta-\frac{i\alpha a}{2L}(\theta^2-\theta_0^2)\}d\theta \nonumber
\end{eqnarray}
となる。
この式を
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac{i\alpha a^2}{L}e^{i\alpha}\int_{\theta_0}^{\theta_1}\theta^2\;exp\{-\frac{i\alpha a}{2L}(\theta-\frac{L}{\alpha a})^2+i(\frac{L}{2\alpha a}+\frac{\alpha a}{2L}\theta_0^2)\}d\theta \nonumber
\end{eqnarray}
と変形した後
\begin{eqnarray}
\frac{\alpha a}{L}=\beta^2
\end{eqnarray}
とおき、部分積分の公式(第5部 数学公式集 5-2)を使って
\begin{eqnarray}
\Delta&=&ia\beta^2exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\} \int_{\theta_0}^{\theta_1}\theta^2\;exp\{-\frac{i}{2}\beta^2(\theta-\frac{1}{\beta^2})^2\}d\theta
\end{eqnarray}
を得る。ここで
\begin{eqnarray}
\int exp\{-iu^2\}du \nonumber
\end{eqnarray}
なる形の積分が現れたので先ずこれを計算しておく。これは$Fresnel$の積分と言われるものである。
$\;u^2=v\;$とおき、部分積分の公式(第5部 数学公式集 5-2)を使えば
\begin{eqnarray}
\int exp\{-iu^2\}du&=&\int \frac{1}{2}v^{-1/2}e^{-iv}dv \nonumber \\
&=&\frac{i}{2}v^{-1/2}e^{-iv}+\frac{i}{4}\int v^{-3/2}e^{-iv}dv \nonumber
\end{eqnarray}
となる。部分積分を繰り返すとこの式は結局
\begin{eqnarray}
[\frac{i}{2}v^{-1/2}+\frac{i^2}{4}v^{-3/2}+\frac{3}{8}i^3v^{-5/2}+\cdots]e^{-iv} \nonumber
\end{eqnarray}
となり$\;v\;$を$\;u\;$に戻すと、$Fresnel$の積分は
\begin{eqnarray}
\int exp\{&-&iu^2\}du \nonumber \\
&=&[i(\frac{1}{2u}-\frac{3}{8u^5}+\frac{105}{32u^9}-\cdots) \nonumber \\
&\;&\;+(-\frac{1}{4u^3}+\frac{15}{16u^7}-\frac{945}{64u^{11}}+\cdots)]exp\{-iu^2\}
\end{eqnarray}
のように得られる。$\;u\;$が大きいときはこのように$\;1/u\;$の級数として積分が求められるが、もし$\;u\;$が小さい値のときは
部分積分を逆に行うことによって$\;u\;$の級数として求めることができる。$\;u^2\;$の値が0〜50の範囲では数表も作られている。
次に
\begin{eqnarray}
\int u\; exp\{-iu^2\}du=\frac{1}{2}\int exp\{-iv\}dv \nonumber \\
=\frac{i}{2}exp\{-iv\}=\frac{i}{2}exp\{-iu^2\}
\end{eqnarray}
となるからこれは初等積分であり、また
\begin{eqnarray}
\int u^2exp\{-iu^2\}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{v}\;exp\{-iv\}dv \nonumber \\
=\frac{i}{2}\sqrt{v}\;exp\{-iv\}-\frac{i}{4}\int \frac{1}{\sqrt{v}}\;exp\{-iv\}dv \nonumber \\
=\frac{iu}{2}exp\{-iu^2\}-\frac{i}{2}\int exp\{-iu^2\}du
\end{eqnarray}
となるからこの積分は式(7)に帰着する。
そこで式(6)の積分を式(7)の形にするため
\begin{eqnarray}
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(\beta \theta-\frac{1}{\beta})
\end{eqnarray}
とおけば
\begin{eqnarray}
\theta&=&\frac{\sqrt{2}}{\beta}u+\frac{1}{\beta^2} \nonumber \\
\theta^2&=&\frac{1}{\beta^2}(2u^2+\frac{2\sqrt{2}}{\beta}u+\frac{1}{\beta^2}) \nonumber
\end{eqnarray}
であるから式(6)は
\begin{eqnarray}
\Delta=ia\frac{\sqrt{2}}{\beta}exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\}\int_{u_0}^{u_1}(2u^2+\frac{2\sqrt{2}}{\beta}u+\frac{1}{\beta^2})exp\{-iu^2\}du \nonumber
\end{eqnarray}
となる。これに式(8)(9)を適用すれば
\begin{eqnarray}
\Delta&=&ia\frac{\sqrt{2}}{\beta}exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\} \nonumber \\
&\;&[i (u+\frac{\sqrt{2}}{\beta})exp\{-i u^2\}+(\frac{1}{\beta^2}-i)\int exp\{-iu^2\}du]_{u_0}^{u_1}
\end{eqnarray}
となる。この式の最後の積分が式(7)の級数で表示されるためには$\;u\;$が大きな値であることを確かめておかねばならない。
前に用いた数値例
$2\pi a=0.17mm\;\;\;\;\;L=120mm$
を用い、またテンプ回転角を360°とみれば
$\alpha=$0〜$2\pi$
であるから式(5)より
$\beta^2$=0〜0.00014,$\;\;\;\;\;$$\beta=$0〜0.038
となる。
これと
$\theta=8\pi$〜$33\pi$
とを式(10)に入れると
$|u|=18 \sim \infty$
となってかなり大きな値である。したがって式(11)の積分に式(7)の級数を入れて
\begin{eqnarray}
\Delta=ia\frac{\sqrt{2}}{\beta}exp\{i(\alpha&+&\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\} \nonumber \\
\;[\{iu+i\frac{\sqrt{2}}{\beta}+(\frac{1}{\beta^2}&-&i)(\frac{i}{2u}-\frac{1}{4u^3}-\frac{3i}{8u^5}+\cdots)\}exp\{-iu^2\}]_{u_0}^{u_1}\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{eqnarray}
となる。この式の[ ]内の$\;exp\;$の係数
\begin{eqnarray}
iu+i\frac{\sqrt{2}}{\beta}+(\frac{1}{\beta^2}&-&i)(\frac{i}{2u}-\frac{1}{4u^3}-\frac{3i}{8u^5}+\cdots)
\end{eqnarray}
を$\;\beta\;$が小さい値、$\;\theta\;$が大きい値であることを考慮して計算する。式(10)より
\begin{eqnarray}
\frac{1}{u}&=&\frac{\sqrt{2}\beta}{\beta^2\theta-1}=-\sqrt{2}\beta(1+\beta^2\theta+\beta^4\theta^2+\cdots) \nonumber \\
\frac{1}{u^3}&=&-2\sqrt{2}\beta^3(1+3\beta^2\theta+\cdots) \nonumber \\
\frac{1}{u^5}&=&-4\sqrt{2}\beta^5(1+\cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
であるから式(13)は
\begin{eqnarray}
i(\frac{\beta\theta}{\sqrt{2}}&-&\frac{1}{\sqrt{2}\beta}+\frac{\sqrt{2}}{\beta})+(\frac{1}{\beta^2}-i)\{-\frac{i\beta}{\sqrt{2}}(1+\beta^2\theta+\beta^4\theta^2+\cdots) \nonumber \\
&\;&+\frac{\beta^3}{\sqrt{2}}(1+3\beta^2\theta+\cdots)+\frac{3i\beta^5}{\sqrt{2}}(1+\cdots)+\cdots\} \nonumber \\
&=&i\{\frac{\beta\theta}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}\beta}-\frac{1}{\sqrt{2}\beta}(1+\beta^2\theta+\beta^4\theta^2+\cdots) \nonumber \\
&\;&-\frac{\beta^3}{\sqrt{2}}(1+3\beta^2\theta+\cdots)+\frac{3\beta^3}{\sqrt{2}}(1+\cdots)+\cdots\} \nonumber \\
&\;&+\frac{\beta}{\sqrt{2}}(1+3\beta^2\theta+\cdots)-\frac{\beta}{\sqrt{2}}(1+\beta^2\theta+\cdots)+\cdots \nonumber \\
&=&i\{-\frac{\beta^3\theta^2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\beta^3+\cdots\}+\sqrt{2}\beta^3\theta+\cdots \nonumber
\end{eqnarray}
となる。$\;\theta\;$が大きな値であるからこの式は最初の項が一番大きく、これだけを採ることにすると式(12)は
\begin{eqnarray}
\Delta&=&ia \frac{\sqrt{2}}{\beta}exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\}[-\frac{i}{\sqrt{2}}\beta^3\theta^2exp\{-iu^2\}]_{u_0}^{u_1} \nonumber \\
&=&a\beta^2exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\}[\theta_1^2exp\{-iu_1^2\}-\theta_0^2exp\{-iu_0^2\}] \nonumber \\
&=&a\beta^2exp\{i(\alpha+\frac{1}{2\beta^2}+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2)\}[\theta_1^2exp\{-\frac{i}{2}\beta^2(\theta_1-\frac{1}{\beta^2})^2\} \nonumber \\
&\;&-\theta_0^2exp\{-\frac{i}{2}\beta^2(\theta_0-\frac{1}{\beta^2})^2\}] \nonumber \\
&=&a\beta^2[\theta_1^2exp\{i(\alpha+\frac{\beta^2}{2}\theta_0^2-\frac{\beta^2}{2}\theta_1^2+\theta_1)\}-\theta_0^2exp\{i(\alpha+\theta_0)\}] \nonumber
\end{eqnarray}
ここで式(5)により$\;\beta\;$を$\;\alpha\;$で表すと
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac{a^2}{L}\alpha[\theta_1^2exp\{i(\alpha-\frac{a\alpha}{2L}(\theta_1^2-\theta_0^2)+\theta_1)\}-\theta_0^2exp\{i(\alpha+\theta_0)\} \nonumber
\end{eqnarray}
更に3-4-1で求めた
\begin{eqnarray}
L=\frac{a}{2}(\theta_1^2-\theta_0^2)
\end{eqnarray}
の関係を使うと最初の$\;exp\;$の中の$\;\alpha\;$が消えて結局
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac{a^2}{L}\alpha[\theta_1^2exp\{i\theta_1\}-\theta_0^2exp\{i(\alpha+\theta_0)\}]
\end{eqnarray}
のように比較的簡単な形で表現される。